2015 年考研数学（一） 第 14 题

两个信号：其一，二维正态下 $\rho =0⟺$ 独立，使联合概率可拆成边缘概率之积；其二，$XY-Y=(X-1)Y$ 的因式分解把「乘积符号」问题变成两因子各自与 $0$ 比较。再利用 $X,Y$ 分别以 $1,0$ 为对称中心，每个概率都是 $\frac{1}{2}$，结果自然得出。

利用二维正态分布中不相关等价于独立。 记号 $N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$ 表明 $X\sim N(1,1)$，$Y\sim N(0,1)$，相关系数 $\rho =0$。对二维正态分布，$\rho =0⟺X,Y$ 相互独立。

将事件因式分解：$XY-Y=(X-1)Y$，故
$$P\{XY-Y<0\}=P\{(X-1)Y<0\}.$$
乘积小于 $0$ 即两因子异号，由 $X,Y$ 独立：
$$=P\{X<1\}P\{Y>0\}+P\{X>1\}P\{Y<0\}.$$

因 $X\sim N(1,1)$，$P\{X<1\}=P\{X>1\}=\frac{1}{2}$；因 $Y\sim N(0,1)$，$P\{Y>0\}=P\{Y<0\}=\frac{1}{2}$。故
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
故填 $\frac{1}{2}$。