2015 年考研数学（一） 第 15 题

等价无穷小 $f\sim k{x}^3$ 的本质是「最低非零幂次为 3、且该系数等于 $k$」。所以策略是泰勒展开到 $x^3$、逐次令更低阶系数消失。关键在于把每个函数展到足够阶（$\sin x$ 要到 $x^3$，而 $x\sin x$ 到 $x^2$ 即够），再比较系数解方程组。

分析： $f(x)\sim k{x}^3$ 表明 $f(x)$ 是 $x$ 的三阶无穷小，故把 $f(x)$ 展成带 $o(x^3)$ 的麦克劳林式后，$x$ 与 $x^2$ 的系数必须为 $0$，$x^3$ 的系数即为 $k$。

泰勒展开。 当 $x\to 0$：
$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$
故 $x\sin x=x^2+o(x^3)$。代入 $f(x)$：
$$f(x)=x+a\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)+b{x}^2+o(x^3)=(1+a)x+\left(b-\frac{a}{2}\right)x^2+\frac{a}{3}{x}^3+o(x^3).$$

比较系数。 由 $f(x)\sim k{x}^3$ 得
$$1+a=0,b-\frac{a}{2}=0,\frac{a}{3}=k.$$

解得
$$a=-1,b=\frac{a}{2}=-\frac{1}{2},k=\frac{a}{3}=-\frac{1}{3}.$$