2015 年考研数学（一） 第 16 题

几何条件「面积恒为 $4$」是列微分方程的入口：把三角形面积写成含 $y,y^{\prime }$ 的等式，就自动得到一阶 ODE。看出它可分离变量后积分即可，最后用初值 $f(0)=2$ 定常数。核心是完成「几何量 → $y,y^{\prime }$ 关系 → 微分方程」这一步翻译。

分析： 由几何条件建立关于 $f$ 的一阶微分方程，再分离变量求解。

写切线、求围成面积。 曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。令 $y=0$ 得切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$。切线、直线 $x=x_0$ 与 $x$ 轴围成一个直角三角形，两直角边长分别为 $|f(x_0)|$ 与 $\left|\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}\right|$，其面积
$$S=\frac{1}{2}f(x_0)\left[x_0-\left(x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{f^2(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=4.$$

得微分方程并求解。 将 $x_0$ 记为一般的 $x$，$y=f(x)$，则 $\frac{1}{2}{y}^2=4y^{\prime }$，即 $\frac{8\mathrm{d}y}{y^2}=\mathrm{d}x$。两边积分：
$$-\frac{8}{y}=x+C.$$

定常数。 由 $f(0)=2$，代入得 $-\frac{8}{2}=0+C$，即 $C=-4$。于是 $-\frac{8}{y}=x-4$，解得
$$f(x)=\frac{8}{4-x}.$$