2015 年考研数学（一） 第 17 题

两步转化：先用「方向导数最大值 = 梯度模」把方向导数问题化为求 $|\mathrm{grad}f|$；再发现 $|\mathrm{grad}f{|}^2=(x+1{)}^2+(y+1{)}^2$ 就是到定点的距离平方，于是变成曲线 $C$ 上的条件极值。约束是一条曲线，自然用拉格朗日乘数法，最后在有限个驻点里比较取最大。

分析： 函数在一点的方向导数的最大值等于该点梯度的模。因此先求 $|\mathrm{grad}f|$，再在约束 $C$ 上用拉格朗日乘数法求它的最大值。

梯度及其模。 $f_x^{\prime }=1+y,f_y^{\prime }=1+x$，故点 $(x,y)$ 处方向导数的最大值为
$$g(x,y)=|\mathrm{grad}f(x,y)|=\sqrt{(1+y{)}^2+(1+x{)}^2}=\sqrt{(x+1{)}^2+(y+1{)}^2}.$$
只需在约束 $x^2+y^2+xy=3$ 下求 $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2$ 的最大值。

拉格朗日乘数法。 令 $F=(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+\lambda (x^2+y^2+xy-3)$，由
$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=2(x+1)+2\lambda x+\lambda y=0,\\ F_y^{\prime }=2(y+1)+2\lambda y+\lambda x=0,\\ F_{\lambda }^{\prime }=x^2+y^2+xy-3=0,\end{array}$$
解得四个驻点：$(1,1),(-1,-1),(2,-1),(-1,2)$。

比较取最大。 各驻点处
$$g(1,1)=\sqrt{8},g(-1,-1)=0,g(2,-1)=\sqrt{9}=3,g(-1,2)=\sqrt{9}=3.$$
故 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数为 $3$。