2015 年考研数学（一） 第 18 题

要「用定义证明」，就得回到增量商，不能套现成法则。核心技巧是添项拆分 $\Delta (uv)=\Delta u\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \Delta v$，让两块分别收敛到 $u^{\prime }v$ 与 $u{v}^{\prime }$；其中 $v$ 的连续性是取极限的依据。第（Ⅱ）问只需观察 $n$ 个因子时「逐个求导再求和」的规律即可写出。

（Ⅰ）用导数定义证明乘积求导法则。 令 $f(x)=u(x)v(x)$，考察增量并添项 $-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)$：
$$\begin{array}{rl}\Delta f& =u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)\\ & =[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x+\Delta x)+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]\\ & =\Delta u\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\Delta v.\end{array}$$

两边除以 $\Delta x$ 并令 $\Delta x\to 0$。因 $v(x)$ 可导必连续，$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)=v(x)$，于是
$$[u(x)v(x){]}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x+\Delta x)+u(x)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta x}=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x).$$
证毕。

（Ⅱ）$n$ 个函数乘积的求导公式。 由两函数乘积法则用数学归纳法推广，得
$$f^{\prime }(x)=u_1^{\prime }(x)u_2(x)\cdots u_n(x)+u_1(x)u_2^{\prime }(x)\cdots u_n(x)+\cdots +u_1(x)u_2(x)\cdots u_n^{\prime }(x),$$
即 $f^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^n{u}_1(x)\cdots u_{i-1}(x)u_i^{\prime }(x)u_{i+1}(x)\cdots u_n(x)$（每次只对一个因子求导）。