2015 年考研数学（一） 第 19 题

空间曲线积分且曲线为两曲面交线时，首选参数化法。$z=x$ 让 $z^2-x^2=0$ 直接消去一项，是重要的简化信号。参数化到对称区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 后，被积式中的奇函数项自动为零，只需算一个 $\int {\sin }^{2}t\mathrm{d}t$，大幅减负。

分析： 曲线是上半球面与平面的交线，可参数化后化为定积分。由 $z=x$ 与 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$（$x\ge 0$）得 $x^2=2-x^2-y^2$，即 $2x^2+y^2=2$，是椭圆柱面在该平面上截得的椭圆。

参数化。 取
$$L:\{\begin{array}{l}x=\cos t,\\ y=\sqrt{2}\sin t,\\ z=x=\cos t,\end{array}$$
则 $2x^2+y^2=2{\cos }^{2}t+2{\sin }^{2}t=2$ 满足。起点 $A(0,\sqrt{2},0)$ 对应 $t=\frac{\pi }{2}$，终点 $B(0,-\sqrt{2},0)$ 对应 $t=-\frac{\pi }{2}$。又 $\mathrm{d}x=-\sin t\mathrm{d}t,\mathrm{d}y=\sqrt{2}\cos t\mathrm{d}t,\mathrm{d}z=-\sin t\mathrm{d}t$。

代入化为定积分。 注意 $z^2-x^2={\cos }^{2}t-{\cos }^{2}t=0$，故
$$I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}[(\sqrt{2}\sin t+\cos t)(-\sin t)+\sqrt{2}\sin t\cdot \sqrt{2}\cos t+2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t(-\sin t)]\mathrm{d}t.$$
被积式中 $\sin t\cos t$（奇）与 ${\sin }^{3}t{\cos }^{2}t$（奇）在对称区间上积分为 $0$，仅余偶函数 $-\sqrt{2}{\sin }^{2}t$ 一项。

于是（把上下限调正并利用偶性）
$$I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}(-\sqrt{2}{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t=\sqrt{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi .$$
即 $I=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。