2015 年考研数学（一） 第 20 题

第（Ⅰ）问判定一组向量是否为基，最直接的是看过渡矩阵是否可逆（行列式非零）。第（Ⅱ）问的关键是翻译：「两基下坐标相同的非零向量」等价于齐次方程 $\sum x_i({\beta }_i-{\alpha }_i)=0$ 有非零解，于是化为系数行列式为零求 $k$，再解齐次组得 $\xi$。

（Ⅰ）证明 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 是基。 由题设可写出过渡矩阵：
$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 2k& 0& k+1\end{array}\right).$$
因为
$$\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 2k& 0& k+1\end{array}\right|=2[2(k+1)-2k]=4\ne 0,$$
所以过渡矩阵可逆，$r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=3$，即 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性无关，构成 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个基。

（Ⅱ）设 $\xi$ 在两组基下坐标同为 $(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$。 由 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=x_1{\beta }_1+x_2{\beta }_2+x_3{\beta }_3$，即
$$x_1({\beta }_1-{\alpha }_1)+x_2({\beta }_2-{\alpha }_2)+x_3({\beta }_3-{\alpha }_3)=0.$$
因 ${\beta }_1-{\alpha }_1={\alpha }_1+2k{\alpha }_3,{\beta }_2-{\alpha }_2={\alpha }_2,{\beta }_3-{\alpha }_3={\alpha }_1+k{\alpha }_3$，整理得
$$x_1({\alpha }_1+2k{\alpha }_3)+x_2{\alpha }_2+x_3({\alpha }_1+k{\alpha }_3)=0.$$

要有非零 $\xi$，即上式关于 $(x_1,x_2,x_3)$ 有非零解。 由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，等价于系数行列式为零：
$$|{\alpha }_1+2k{\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1+k{\alpha }_3|=|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2k& 0& k\end{array}\right|=0.$$
因 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\ne 0$，故 $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2k& 0& k\end{array}\right|=k-2k=-k=0$，得 $k=0$。

求 $\xi$。 当 $k=0$ 时，方程化为 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_1=0$，即系数矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 的齐次方程组，其基础解系为 $(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}=C(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。故坐标为 $C(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，对应
$$\xi =-C{\alpha }_1+C{\alpha }_3=C({\alpha }_3-{\alpha }_1),C\text{为任意非零常数}.$$