2015 年考研数学（一） 第 21 题

第（Ⅰ）问定参数就用相似的两个「不变量」——迹与行列式，联立即可，不必真去求特征值。第（Ⅱ）问既然 $A\sim B$、特征值一致，就从三角形的 $B$ 读出特征值，再回到 $A$ 求特征向量组装 $P$。这样把「未知的 $A$」借助「结构已知的 $B$」来处理，是本题的巧妙之处。

（Ⅰ）由相似的必要条件定 $a,b$。 相似矩阵有相同的迹与行列式：
$$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B:0+3+a=1+b+1,\text{即}a+3=b+2;$$
$$|A|=|B|:|A|=2a-3,|B|=b,\text{即}2a-3=b.$$
联立 $\{\begin{array}{l}a+3=b+2\\ 2a-3=b\end{array}$，解得 $a=4,b=5$。

（Ⅱ）求特征值。 因 $A\sim B$，二者特征值相同。由
$$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 2& 0\\ 0& \lambda -5& 0\\ 0& -3& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -5)=0,$$
得特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1,{\lambda }_3=5$。

求 $\lambda =1$ 的特征向量。 由 $(E-A)x=0$：
$$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ -1& 2& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得两个线性无关特征向量 ${\alpha }_1=(2,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(-3,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

求 $\lambda =5$ 的特征向量。 由 $(5E-A)x=0$：
$$5E-A=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 3\\ 1& 2& 3\\ -1& 2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得特征向量 ${\alpha }_3=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

构造 $P$。 令
$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),\text{则}{P}^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$