2015 年考研数学（一） 第 22 题

「第 $2$ 次成功时停止」是识别负二项分布的关键词。先把连续型的 $X$ 压缩成一个成败概率 $p=P\{X>3\}$，问题就离散化了。写分布律的要点是「前 $k-1$ 次恰 $1$ 次成功 $\times$ 第 $k$ 次成功」。均值既可用级数求和，也可直接套用 $E(Y)=\frac{r}{p}$。

分析： 每次观测“大于 $3$”是一次伯努利试验，成功概率 $p=P\{X>3\}$。$Y$ 为第 $2$ 次成功出现时的试验次数，服从帕斯卡（负二项）分布。

求单次成功概率 $p$。
$$p=P\{X>3\}={\int }_3^{+\infty }{2}^{-x}\ln 2\mathrm{d}x={-2^{-x}|}_3^{+\infty }=2^{-3}=\frac{1}{8}.$$

（Ⅰ）$Y$ 的分布律。 $Y=k$ 表示前 $k-1$ 次中恰有 $1$ 次成功且第 $k$ 次成功，$Y$ 的可能取值为 $2,3,\cdots$：
$$P\{Y=k\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{1}\right)p(1-p{)}^{k-2}\cdot p=(k-1)p^2(1-p{)}^{k-2},k=2,3,\cdots$$
其中 $p=\frac{1}{8}$。

（Ⅱ）求 $E(Y)$。 记 $x=1-p$，利用 $\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)x^{k-2}=(\sum _{k=2}^{\infty }{x}^k{)}^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$：
$$E(Y)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)p^2(1-p{)}^{k-2}=p^2\cdot \frac{2}{(1-x{)}^3}=p^2\cdot \frac{2}{p^3}=\frac{2}{p}=\frac{2}{1/8}=16.$$
（这与负二项分布 $E(Y)=\frac{r}{p}=\frac{2}{1/8}=16$ 一致。）