2015 年考研数学（一） 第 23 题

矩估计套路固定：令一阶矩 $E(X)=\overline{X}$ 解参数。最大似然这里有个「陷阱」——$L(\theta )=(1-\theta {)}^{-n}$ 对 $\theta$ 单调递增，令导数为零求不到极值，必须回到约束 $\theta \le {\min }_i{x}_i$ 在边界取最大。识别「似然单调 + 参数受样本约束」正是本题的关键。

（Ⅰ）矩估计。 先求总体期望：
$$E(X)={\int }_{\theta }^1\frac{x}{1-\theta }\mathrm{d}x=\frac{1}{1-\theta }\cdot \frac{1-{\theta }^2}{2}=\frac{1+\theta }{2}.$$
令 $E(X)=\overline{X}$，即 $\frac{1+\theta }{2}=\overline{X}$，解得 $\theta$ 的矩估计量
$$\hat{\theta }=2\overline{X}-1.$$

（Ⅱ）最大似然估计。 当所有样本满足 $\theta \le x_i\le 1$ 时，似然函数为
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\frac{1}{(1-\theta {)}^n},\theta \le x_i\le 1(i=1,2,\cdots ,n).$$

因为 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }L(\theta )=\frac{n}{(1-\theta {)}^{n+1}}>0$，所以 $L(\theta )$ 关于 $\theta$ 单调递增，故在约束 $\theta \le \underset{1\le i\le n}{\min }\{x_i\}$ 下，$\theta$ 取到最大可能值时 $L(\theta )$ 最大。因此 $\theta$ 的最大似然估计量为
$$\hat{\theta }=\underset{1\le i\le n}{\min }\{X_i\}.$$