2015 年考研数学（一）第 7 题

选择题 · 4 分

若

A, B

为任意两个随机事件，则（　　）

提示 1

选项 A、B 形如「独立事件」的结论，对任意事件未必成立；试举特例（如

A = B

）把它们排除。

提示 2

剩下的不等式含

\frac{P ( A ) + P ( B )}{2}

，联想概率加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

。

提示 3

再用包含关系

A B \subseteq A \cup B

得

P (A \cup B) \geq P (A B)

，代入加法公式整理即可比较。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

先用「任意事件」这个前提排除带独立性味道的 A、B（取

A = B

反例最快）。真正普适的工具是概率加法公式与单调性

A B \subseteq A \cup B

。把两者联立就能挤出

2 P (A B) \leq P (A) + P (B)

，这正是本题要用的核心不等式。

解答

本题考查概率的基本性质。 A、B 涉及独立性，对一般事件不一定成立（例如

A = B

时

P (A B) = P (A)

可大于

P (A)^{2}

），可排除。关键用加法公式。

由加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

，而

A \cup B \supseteq A B

，故

P (A \cup B) \geq P (A B)

，即

P (A) + P (B) - P (A B) \geq P (A B) .

移项得

2 P (A B) \leq P (A) + P (B)

，即

P (A B) \leq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2}

，应选 C。

2015 年考研数学（一） 第 7 题