2015 年考研数学（一） 第 6 题

抓住主线「平方项系数 = 特征值，且与所用特征向量一一对应」。$Q$ 只是把 $P$ 的列重新排列、个别列变号，而特征向量与特征值的配对关系不变，符号相反也不影响所属特征值。于是新标准形只需按 $Q$ 的列顺序重排系数即可，无需重新求矩阵或解特征值。

本题考查实对称矩阵的正交对角化。 正交变换化标准形时，平方项系数就是特征值，且系数与所用特征向量（$Q$ 的列）一一对应。

由 $x=Py$ 下标准形为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$ 知，$f$ 的矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$，对应的（单位正交）特征向量依次为 $e_1,e_2,e_3$。

$Q=(e_1,-e_3,e_2)$ 的三列 $e_1,-e_3,e_2$ 分别是特征值 $2,-1,1$ 对应的特征向量（$-e_3$ 与 $e_3$ 同属特征值 $-1$，仍是单位向量）。因此在 $x=Qy$ 下
$$f=2y_1^2+(-1)y_2^2+(1)y_3^2=2y_1^2-y_2^2+y_3^2,$$
应选 A。