2015 年考研数学（一） 第 5 题

「无穷多解」这个词直接给出方法——秩条件 $r(A)=r(\overline{A})<3$。先用系数行列式 $|A|=0$ 锁定 $a$（范德蒙德结构让计算很简），再回到增广矩阵看相容性锁定 $d$。对 $a$ 的每个值分别讨论，是保证结论充要的关键。

本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的条件。 $Ax=b$ 有无穷多解 $⟺r(A)=r(\overline{A})<3$，$A$ 为范德蒙德型行列式。

先由 $r(A)<3$：$|A|=(a-1)(a-2)=0$，得 $a=1$ 或 $a=2$，即 $a\in \Omega$。

当 $a=1$ 时， 对增广矩阵作初等行变换：
$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& d\\ 1& 4& 1& d^2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& d-1\\ 0& 0& 0& d^2-3d+2\end{array}\right).$$
有无穷多解要求 $d^2-3d+2=(d-1)(d-2)=0$，即 $d=1$ 或 $d=2$。

当 $a=2$ 时， 同理
$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& d\\ 1& 4& 4& d^2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& d-1\\ 0& 0& 0& d^2-3d+2\end{array}\right),$$
仍要求 $d^2-3d+2=0$，即 $d=1$ 或 $d=2$。

综上，有无穷多解的充要条件为 $a\in \Omega$ 且 $d\in \Omega$，应选 D。