2015 年考研数学（一） 第 4 题

看到两条过原点直线加「$xy=$常数」型曲线围成的区域，就应想到极坐标：直线定 $\theta$、曲线定 $r$。核心技巧是把 $xy$ 写成 $\frac{r^2}{2}\sin 2\theta$ 从而解出 $r(\theta )$。最后再用雅可比因子 $r$ 快速排除错误选项，是选择题省时的办法。

本题考查二重积分化极坐标。 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，注意极坐标下面积元素为 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，可先排除缺少因子 $r$ 的 C、D。

确定 $\theta$ 的范围。 直线 $y=x$ 对应 $\theta =\frac{\pi }{4}$，直线 $y=\sqrt{3}x$ 对应 $\theta =\frac{\pi }{3}$，故 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$。

确定 $r$ 的范围。 由 $xy=r^2\cos \theta \sin \theta =\frac{r^2}{2}\sin 2\theta$：
- 曲线 $4xy=1$ 即 $2r^2\sin 2\theta =1$，得 $r=\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}$（内边界）；
- 曲线 $2xy=1$ 即 $r^2\sin 2\theta =1$，得 $r=\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}$（外边界）。

于是
$${\iint }_{D}f\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r,$$
应选 B。