2015 年考研数学（一） 第 3 题

关键信号是「条件收敛」——它意味着该点恰在收敛半径的边界上，故 $R=1$。想到这一步，问题就化为比较 $\sqrt{3},3$ 与展开中心 $x=1$ 的距离和 $R$ 的大小。再利用「逐项求导不改变收敛半径」消去因子 $n$ 的干扰即可判定收敛还是发散。

本题考查条件收敛与幂级数收敛半径的关系。 $\sum a_n$ 条件收敛意味着 $x=1$（即 $\sum a_n\cdot 1^n$）恰在 $\sum a_n{x}^n$ 收敛半径的边界上，故其收敛半径为 $R=1$。

于是 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 的收敛区间为 $-1<x-1<1$，即 $0<x<2$。

逐项求导不改变收敛半径与收敛区间，$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 收敛半径相同、收敛区间相同（均为 $0<x<2$）。

因为 $\sqrt{3}-1\in (-1,1)$，故 $x=\sqrt{3}$ 在收敛区间内部，级数绝对收敛（收敛点）；而 $3-1=2\notin [-1,1]$，故 $x=3$ 在收敛区间之外，级数发散（发散点）。所以 $x=\sqrt{3}$ 为收敛点、$x=3$ 为发散点，应选 B。