2015 年考研数学（一） 第 2 题

这类由特解反推方程的题，破题点是把特解按来源拆分：纯指数项 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 必是齐次通解成分、暴露特征根，而带因子 $x$ 的项才是非齐次项共振产生的特解。识别出两个特征根后 $a,b$ 由根与系数关系直接得到，$c$ 再回代确定，避免盲目求解。

本题由特解结构反推方程的系数。 非齐次特解中的 $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}$ 与 $-\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^x$ 属于对应齐次方程的解，$x{\mathrm{e}}^x$ 则是非齐次项 $c{\mathrm{e}}^x$ 产生的特解。

因为 ${\mathrm{e}}^{2x}$、${\mathrm{e}}^x$ 是齐次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的解，故特征方程 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ 的特征值为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$，从而
$$a=-({\lambda }_1+{\lambda }_2)=-3,b={\lambda }_1{\lambda }_2=2.$$

又 ${\mathrm{e}}^x$ 是特征单根，故 $y^{\ast }=x{\mathrm{e}}^x$ 为原方程的特解。将 $y=x{\mathrm{e}}^x$（$y^{\prime }=(1+x){\mathrm{e}}^x,y^{\prime \prime }=(2+x){\mathrm{e}}^x$）代入 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=c{\mathrm{e}}^x$，得
$$[(2+x)-3(1+x)+2x]{\mathrm{e}}^x=-{\mathrm{e}}^x=c{\mathrm{e}}^x,$$
所以 $c=-1$。

综上 $a=-3,b=2,c=-1$，应选 A。