2015 年考研数学（一） 第 1 题

看到给出 $f^{\prime \prime }(x)$ 的图形求拐点，信号是要用拐点判别法而非死记结论。关键认识是：拐点未必出现在 $f^{\prime \prime }=0$ 处，而是 $f^{\prime \prime }$ 变号处，且 $f^{\prime \prime }$ 不存在的点也可能成为拐点。于是先圈出所有 $f^{\prime \prime }=0$ 与间断的横坐标，再逐点看左右符号，即可数清个数。

本题考查拐点的判别法。 拐点是二阶导数变号的分界点：先找出 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点及 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点，再看该点两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 是否异号。

由图形，设 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 在 $y$ 轴左边的零点为 $x=a$，右边的零点为 $x=b$，又在 $x=0$ 处 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在。
- 因为 $x=a$ 的左、右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 都大于零（相切、不变号），所以 $(a,f(a))$ 不是拐点；
- 因为 $x=0$ 左、右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号，所以 $(0,f(0))$ 是拐点；
- 因为 $x=b$ 左、右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号，所以 $(b,f(b))$ 是拐点。

故曲线 $y=f(x)$ 共有 $2$ 个拐点，应选 C。