2014 年考研数学（一） 第 9 题

隐式曲面 $F=0$ 的切平面法向量就是 $\nabla F$。把 $z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$ 移项成 $F=0$ 后逐个求偏导，代入 $(1,0,1)$——$y=0$ 让含 $\sin y$、$y^2$ 的项统统消失，很快得法向量 $(2,-1,-1)$，点法式即成。

本题考查曲面的切平面方程。 将曲面写成 $F(x,y,z)=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)-z=0$，法向量取梯度 $\nabla F$。

$F_x=2x(1-\sin y)-y^2\cos x,F_y=-x^2\cos y+2y(1-\sin x),F_z=-1$。在点 $(1,0,1)$ 处 $\mathbf{n}=(F_x,F_y,F_z)=(2,-1,-1)$。

切平面为 $2(x-1)-(y-0)-(z-1)=0$，即 $2x-y-z-1=0$。