2014 年考研数学（一） 第 8 题

关键是区分「混合分布」与「变量平均」两种构造。$Y_1$ 的矩由密度混合得 $E(Y_1^2)=\frac{1}{2}[E(X_1^2)+E(X_2^2)]$；$Y_2$ 的方差因独立而减半。两式相减，差恰是 $\frac{1}{4}E(X_1-X_2{)}^2\ge 0$，故 $D(Y_1)>D(Y_2)$。想到把方差之差配成一个平方的期望，是本题定胜负的一步。

本题考查数学期望与方差的计算与比较。

期望： $E(Y_1)=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }y[f_1(y)+f_2(y)]\mathrm{d}y=\frac{1}{2}[E(X_1)+E(X_2)]$；又 $E(Y_2)=\frac{1}{2}[E(X_1)+E(X_2)]$，故 $E(Y_1)=E(Y_2)$。

方差： $E(Y_1^2)=\frac{1}{2}[E(X_1^2)+E(X_2^2)]$，于是 $$D(Y_1)=\frac{1}{2}[E(X_1^2)+E(X_2^2)]-\frac{1}{4}[E(X_1)+E(X_2){]}^2=\frac{1}{4}D(X_1)+\frac{1}{4}D(X_2)+\frac{1}{4}E(X_1-X_2{)}^2.$$ 而由独立性 $D(Y_2)=\frac{1}{4}[D(X_1)+D(X_2)]$。

两式相减 $D(Y_1)-D(Y_2)=\frac{1}{4}E(X_1-X_2{)}^2>0$，故 $D(Y_1)>D(Y_2)$，应选 D。