2014 年考研数学（一） 第 10 题

由导数还原函数会带一个常数 $C$，而奇函数必有 $f(0)=0$，恰好用来定 $C$。求 $f(7)$ 不必求全局表达式：先用周期 $T=4$ 把 $7$ 平移到 $[-2,2]$（$f(7)=f(-1)$），再用奇性 $f(-1)=-f(1)$ 落到已知区间上算。

本题考查奇函数、周期函数的性质与由导数还原原函数。

在 $[0,2]$ 上由 $f^{\prime }(x)=2(x-1)$ 积分得 $f(x)=(x-1{)}^2+C$。由 $f$ 为奇函数知 $f(0)=0$，得 $1+C=0$，$C=-1$，故 $f(x)=x^2-2x,x\in [0,2]$。

利用周期 $4$ 与奇性：$f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)$。而 $f(1)=1^2-2\cdot 1=-1$，故 $f(7)=-(-1)=1$。