2014 年考研数学（一） 第 11 题

出现 $\ln x-\ln y=\ln \frac{x}{y}$、整体只依赖 $\frac{y}{x}$，是齐次方程的典型信号。标准套路是令 $u=\frac{y}{x}$ 把它降为可分离变量方程。积分得 $\ln u=Cx+1$，即 $y=x{\mathrm{e}}^{Cx+1}$，再代初值定出 $C=2$。

本题考查齐次型微分方程。 方程化为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{y}{x}\ln \frac{x}{y}=0$，是齐次方程。

令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，代入得 $u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\ln u=0$，分离变量 $\frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u-1)}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$。

积分得 $\ln (\ln u-1)=\ln x+\ln C$，即 $\ln u=Cx+1$，故通解 $y=x{\mathrm{e}}^{Cx+1}$。

由 $y(1)={\mathrm{e}}^3$ 得 ${\mathrm{e}}^{C+1}={\mathrm{e}}^3$，$C=2$，故 $y=x{\mathrm{e}}^{2x+1}$。