2014 年考研数学（一） 第 12 题

空间曲线积分，若曲线能简单参数化就直接参数化最省事。柱面给出 $x=\cos t,y=\sin t$，平面 $y+z=0$ 给出 $z=-\sin t$。代入把线积分变成 $[0,2\pi ]$ 上的定积分，剩下就是三角函数在整周期上的标准积分。此题也可用斯托克斯公式验证。

本题考查空间曲线积分的计算。 交线可直接参数化。

由 $x^2+y^2=1$ 及 $z=-y$，取 $x=\cos t,y=\sin t,z=-\sin t$，$t:0\to 2\pi$（从 $z$ 轴正向看为逆时针）。则 $\mathrm{d}x=-\sin t\mathrm{d}t,\mathrm{d}z=-\cos t\mathrm{d}t$。

$${\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z={\int }_0^{2\pi }[(-\sin t)(-\sin t)+\sin t(-\cos t)]\mathrm{d}t={\int }_0^{2\pi }({\sin }^{2}t-\sin t\cos t)\mathrm{d}t.$$

由 ${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\pi$、${\int }_0^{2\pi }\sin t\cos t\mathrm{d}t=0$，得原积分 $=\pi$。