2014 年考研数学（一） 第 13 题

惯性指数问题优先算行列式（特征值之积）判符号。取 $f(1,0,0)=1>0$、$f(0,1,0)=-1<0$ 说明「一正一负」已定；要「负指数恰为 $1$」就得排除出现第二个负特征值，这由 $|A|=a^2-4$ 的符号控制。别忘边界 $a=\pm 2$ 时出现零特征值需单独核验，最终并入闭区间 $[-2,2]$。

本题考查二次型的惯性指数。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 2& 0\end{array}\right)$，$|A|=a^2-4$。

由 $f(1,0,0)=1>0$、$f(0,1,0)=-1<0$ 知正、负惯性指数都至少为 $1$；又左上角二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right|=-1\ne 0$，故 $r(A)\ge 2$，特征值中至多一个为 $0$。

负惯性指数为 $1$（负特征值恰一个）：当 $|A|<0$ 时负特征值为奇数个，结合已知一正一负知恰为 $1$ 个，此时 $-2<a<2$；当 $|A|=0$（$a=\pm 2$）时有一零特征值，可算得特征值为 $-3,0,3$，负惯性指数为 $1$；当 $|A|>0$（$|a|>2$）时负特征值为偶数个即 $2$ 个，不符。

综上，$a$ 的取值范围是 $-2\le a\le 2$，即 $[-2,2]$。