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2014 年考研数学（一）第 14 题

填空题 · 4 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x}{3 θ ^{2}}, 0, θ < x < 2 θ, 其他,

其中

θ

是未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。若

c i = 1 \sum n X_{i}^{2}

是

θ^{2}

的无偏估计，则

c =

______。

提示 1

无偏估计的定义是

E (估计量) =

被估参数，这里要让

E (c \sum X_{i}^{2}) = θ^{2}

。

提示 2

先算单个

E (X^{2}) = \int x^{2} f d x

，它应是

θ^{2}

的某个倍数。

提示 3

用样本独立同分布把

E (\sum X_{i}^{2})

写成

n E (X^{2})

，再解出

c

。

答案与详解

答案 $\frac{2}{5 n}$

思路（为什么这么做）

无偏估计题的套路：由

E (估计量) =

参数列方程解系数。先求

E (X^{2}) = \int_{θ}^{2 θ} x^{2} \cdot \frac{2 x}{3 θ ^{2}} d x = \frac{5}{2} θ^{2}

，再借 iid 得

E (\sum X_{i}^{2}) = n E (X^{2}) = \frac{5 n}{2} θ^{2}

，令

c \cdot \frac{5 n}{2} θ^{2} = θ^{2}

即得

c = \frac{2}{5 n}

。核心只是一个二阶原点矩的积分。

解答

本题考查无偏估计的定义与二阶原点矩。

先求

E (X^{2}) = \int_{θ}^{2 θ} x^{2} \cdot \frac{2 x}{3 θ ^{2}} d x = \frac{2}{3 θ ^{2}} \int_{θ}^{2 θ} x^{3} d x = \frac{2}{3 θ ^{2}} \cdot \frac{( 2 θ ) ^{4} - θ ^{4}}{4} = \frac{2}{3 θ ^{2}} \cdot \frac{15 θ ^{4}}{4} = \frac{5}{2} θ^{2}

。

由无偏性

E (c \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) = c n E (X^{2}) = \frac{5 n c}{2} θ^{2} = θ^{2}

，得

c = \frac{2}{5 n}

。

考点：估计量的评价标准（无偏、有效、一致）、数学期望

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