2014 年考研数学（一） 第 15 题

先把能替换的局部替换掉：分母用 $\ln (1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{x}$ 降为 $x$。分子被积函数当 $t\to \infty$ 趋于正常数 $\frac{1}{2}$，积分发散，属 $\frac{\infty }{\infty }$，正好洛必达，且变限积分求导直接得被积函数值。最后 ${\mathrm{e}}^{1/x}-1-\frac{1}{x}$ 是熟悉的二阶小量，换元 $t=\frac{1}{x}$ 即得 $\frac{1}{2}$。

本题考查变限积分、等价无穷小与洛必达法则。

当 $x\to +\infty$ 时 $\ln (1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{x}$，故 $x^2\ln (1+\frac{1}{x})\sim x$。于是 $$\text{原式}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{1/t}-1)-t]\mathrm{d}t}{x}.$$

被积函数当 $t\to +\infty$ 时趋于 $\frac{1}{2}>0$，故分子 $\to +\infty$，属 $\frac{\infty }{\infty }$。用洛必达法则，对分子按变限积分求导得 $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }[x^2({\mathrm{e}}^{1/x}-1)-x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2({\mathrm{e}}^{1/x}-1-\frac{1}{x}).$$

令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$：$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^t-1-t}{t^2}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^t-1}{2t}=\frac{1}{2}$。故所求极限为 $\frac{1}{2}$。