2014 年考研数学（一） 第 16 题

隐函数求极值不必解出 $y(x)$。两边求导得 $(3y^2+2xy+x^2)y^{\prime }=-(y^2+2xy)$，令分子 $y^2+2xy=0$ 得 $y=-2x$，回代原方程定出唯一驻点 $(1,-2)$。再对关系式求导算得 $y^{\prime \prime }=\frac{4}{9}>0$，判为极小。要领是「令 $y^{\prime }=0$ 即令分子为零」并与原方程联立。

本题考查隐函数求导与极值的判定。

方程两边对 $x$ 求导：$3y^2{y}^{\prime }+y^2+2xy{y}^{\prime }+2xy+x^2{y}^{\prime }=0$，即 $(3y^2+2xy+x^2)y^{\prime }=-(y^2+2xy)$。令 $y^{\prime }=0$ 得 $y^2+2xy=0$，即 $y(y+2x)=0$，得 $y=-2x$（$y=0$ 代入原方程得 $6=0$ 矛盾，舍去）。

将 $y=-2x$ 代入原方程：$-8x^3+4x^3-2x^3+6=-6x^3+6=0$，得 $x=1,y=-2$。

对 $(3y^2+2xy+x^2)y^{\prime }=-(y^2+2xy)$ 两边再对 $x$ 求导，整理得 $(3y^2+2xy+x^2)y^{\prime \prime }+2(x+3y)(y^{\prime }{)}^2+4(x+y)y^{\prime }+2y=0$。将 $x=1,y=-2,y^{\prime }=0$ 代入得 $9y^{\prime \prime }-4=0$，$y^{\prime \prime }=\frac{4}{9}>0$。

故 $x=1$ 为 $y=f(x)$ 的极小值点，$f(x)$ 的极小值为 $f(1)=-2$。