2014 年考研数学（一） 第 22 题

有「给定 $X=i$ 时 $Y$ 的分布」，就用全概率/全期望按 $X$ 取值加权。分布函数要分段，是因为两个均匀分布的支撑 $(0,1)$、$(0,2)$ 不同，需在 $y$ 的各段分别累加。$E(Y)$ 最省力的是全期望公式 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{3}{4}$，与求密度积分的结果一致。

本题考查全概率公式、条件分布与数学期望。

(I) 由全概率公式 $$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=1\}+\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=2\},$$ 其中 $Y\mid X=1\sim U(0,1)$，$Y\mid X=2\sim U(0,2)$。

分段讨论：$y<0$ 时 $F_Y(y)=0$；$0\le y<1$ 时 $F_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{2}=\frac{3y}{4}$；$1\le y<2$ 时 $F_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{2}=\frac{y}{4}+\frac{1}{2}$；$y\ge 2$ 时 $F_Y(y)=1$。即 $$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ \frac{3y}{4},& 0\le y<1,\\ \frac{y}{4}+\frac{1}{2},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

(II) 求导得密度 $f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4},& 0<y<1,\\ \frac{1}{4},& 1<y<2,\\ 0,& \text{其他.}\end{array}$ 于是 $$E(Y)={\int }_0^1\frac{3}{4}y\mathrm{d}y+{\int }_1^2\frac{1}{4}y\mathrm{d}y=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}.$$