2014 年考研数学（一） 第 21 题

相似的判定优先走「特征值相同 $+$ 都可对角化 $\Rightarrow$ 相似于同一 $\Lambda$」。两矩阵都是秩 $1$，由 $r=1$ 知 $0$ 是 $n-1$ 重根，由迹得非零特征值为 $n$。左矩阵实对称自动可对角化，右矩阵只需验 $\lambda =0$ 的几何重数 $n-r=n-1$ 达标。二者同相似于 $\mathrm{diag}(0,\cdots ,0,n)$，故彼此相似。

本题考查矩阵相似的判定：特征值相同且都可对角化。 记左、右矩阵分别为 $A,B$。

特征值： $A$ 的元素全为 $1$，$r(A)=1$，$\mathrm{tr}(A)=n$，故 $0$ 是 $n-1$ 重特征值，另一特征值为 $n$，即 $A$ 的特征值为 $\underset{n-1}{\underbrace{0,\cdots ,0}},n$。$B$ 仅最后一列非零，$r(B)=1$，$\mathrm{tr}(B)=n$，同理 $B$ 的特征值也为 $\underset{n-1}{\underbrace{0,\cdots ,0}},n$。

可对角化： $A$ 为实对称矩阵，必可对角化。对 $B$，$\lambda =0$ 的几何重数 $=n-r(0E-B)=n-r(B)=n-1$，等于其代数重数，$\lambda =n$ 为单根，故 $B$ 也可对角化。

由于 $A,B$ 特征值相同且都可对角化，二者都相似于同一对角阵 $\mathrm{diag}(0,\cdots ,0,n)$，故 $A\sim B$。