2014 年考研数学（一） 第 20 题

$AB=E$ 的求解统一化为「逐列解 $A{\mathbf{X}}_i={\mathbf{e}}_i$」，所以先把 $A$ 化行最简形一举两得：既得 (I) 的基础解系，又为 (II) 提供特解。因 $r(A)=3<4$，每列通解都带一个自由常数 $k_i$，故 $B$ 不唯一。把三列 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,{\mathbf{X}}_3$ 并排即得含三参数的一般解。

本题考查齐次线性方程组的基础解系与矩阵方程 $AB=E$ 的求解。

(I) 对 $A$ 作行初等变换化为行最简形：$$A\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 4& -3& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right).$$ $r(A)=3$，解空间维数为 $4-3=1$。取自由未知量 $x_4=1$，得基础解系 $\mathbf{\xi }=(-1,2,3,1{)}^{\mathrm{T}}$。

(II) $AB=E$ 中 $B$ 为 $4\times 3$ 矩阵。对 $(A\mid E)$ 作行变换化为行最简形：$$(A\mid E)\to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& -2& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& -3& -1& -4& 1\end{array}\right).$$

将 $AB=E$ 拆成 $A{\mathbf{X}}_i={\mathbf{e}}_i(i=1,2,3)$，每个方程组的通解各含一个任意常数 $k_i$：${\mathbf{X}}_1=k_1\mathbf{\xi }+(2,-1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{X}}_2=k_2\mathbf{\xi }+(6,-3,-4,0{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{X}}_3=k_3\mathbf{\xi }+(-1,1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。

合成得 $$B=\left(\begin{array}{ccc}-k_1+2& -k_2+6& -k_3-1\\ 2k_1-1& 2k_2-3& 2k_3+1\\ 3k_1-1& 3k_2-4& 3k_3+1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right)(k_1,k_2,k_3\text{为任意常数}).$$