2014 年考研数学（一） 第 23 题

三问层层递进：先由 $F$ 求密度与矩（换元成 $\Gamma$ 函数），(I) 得到的 $E(X^2)=\theta$ 正是后面的伏笔。(II) 走极大似然标准流程，$\ln L$ 求导得 ${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}\sum X_i^2$。(III) 认出 ${\hat{\theta }}_n$ 是 iid 的 $X_i^2$ 的样本均值、且 $E(X_i^2)=\theta$ 有限，辛钦大数定律直接给出依概率收敛于 $a=\theta$。

本题考查由分布函数求密度、数学期望、最大似然估计与大数定律。

(I) 密度 $f(x;\theta )=F^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{\theta }{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{\theta }},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$ 作代换 $t=\frac{x^2}{\theta }$，$$E(X)={\int }_0^{+\infty }x\cdot \frac{2x}{\theta }{\mathrm{e}}^{-x^2/\theta }\mathrm{d}x=\sqrt{\theta }{\int }_0^{+\infty }\sqrt{t}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\sqrt{\theta }\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi \theta }}{2}.$$

$$E(X^2)={\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{2x}{\theta }{\mathrm{e}}^{-x^2/\theta }\mathrm{d}x=\theta {\int }_0^{+\infty }\frac{x^2}{\theta }{\mathrm{e}}^{-x^2/\theta }\mathrm{d}\left(\frac{x^2}{\theta }\right)=\theta \Gamma (2)=\theta .$$

(II) 设样本观测值 $x_1,\cdots ,x_n$（均 $>0$），似然函数 $$L(\theta )=\prod _{i=1}^n\frac{2x_i}{\theta }{\mathrm{e}}^{-x_i^2/\theta }=\frac{2^n{x}_1\cdots x_n}{{\theta }^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\theta }{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}.$$ 取对数 $\ln L=n\ln 2+\sum \ln x_i-n\ln \theta -\frac{1}{\theta }\sum x_i^2$，令 $\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{n}{\theta }+\frac{1}{{\theta }^2}\sum x_i^2=0$，解得 $\theta =\frac{1}{n}\sum x_i^2$。故最大似然估计量 ${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$。

(III) 存在，取 $a=\theta$。因为 $X_1^2,X_2^2,\cdots$ 独立同分布，且 $E(X_i^2)=E(X^2)=\theta$，由辛钦大数定律，${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 $\theta$，即对任意 $\epsilon >0$ 有 $\underset{n\to \infty }{\lim }P\{|{\hat{\theta }}_n-\theta |\ge \epsilon \}=0$。故存在 $a=\theta$ 满足要求。