2012 年考研数学（一） 第 9 题

两个条件中，齐次方程 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f=0$ 的信息最『硬』——它把 $f$ 锁定为 $C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$ 这一两参数族。于是把待定形式代入第二个方程，用待定系数法定出 $C_1,C_2$ 即可。这是『用一个方程限定解的结构、再用另一个方程定常数』的标准配合。

齐次方程 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f=0$ 的特征根为 $1,-2$，故 $f(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$。

代入 $f^{\prime \prime }+f=2e^x$：$(C_1{e}^x+4C_2{e}^{-2x})+(C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x})=2C_1{e}^x+5C_2{e}^{-2x}=2e^x$，比较得 $C_1=1,C_2=0$。

故 $f(x)=e^x$。（也可直接观察：$f=e^x$ 使 $f^{\prime \prime }+f=2e^x$ 成立，且满足齐次方程。）