2012 年考研数学（一） 第 10 题

见到 $\sqrt{2x-x^2}$ 先配方成 $\sqrt{1-(x-1{)}^2}$，平移 $t=x-1$ 把积分区间化成对称的 $[-1,1]$，目的是激活『奇偶对称』这把利器。平移后 $x=t+1$ 拆出的奇函数项直接归零，剩下的 ${\int }_{-1}^1\sqrt{1-t^2}dt$ 正是半圆面积，无需硬求原函数。

配方 $2x-x^2=1-(x-1{)}^2$。令 $t=x-1$，当 $x:0\to 2$ 时 $t:-1\to 1$：

${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}dx={\int }_{-1}^1(t+1)\sqrt{1-t^2}dt={\int }_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}dt+{\int }_{-1}^1\sqrt{1-t^2}dt$。

第一项被积函数为奇函数，积分为 $0$；第二项是半径为 $1$ 的上半圆面积，等于 $\frac{\pi }{2}$。

故原积分 $=\frac{\pi }{2}$。