2012 年考研数学（一） 第 11 题

这是梯度定义的直接套用题，唯一要小心的是对 $y$ 求偏导时 $\frac{z}{y}$ 贡献 $-\frac{z}{y^2}$。按定义分别对 $x,y,z$ 求偏导、再代点即可，属于『看清公式、稳求偏导』的基本功题。

设 $u=xy+\frac{z}{y}$，则 $\frac{\partial u}{\partial x}=y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=x-\frac{z}{y^2}$，$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{y}$。

$\mathbf{grad}u=\left\{y,x-\frac{z}{y^2},\frac{1}{y}\right\}$。

代入点 $(2,1,1)$：$\{1,2-1,1\}=\{1,1,1\}$，即 $\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$。