2012 年考研数学（一） 第 12 题

第一类曲面积分的标准流程是『投影 $+$ 面积元系数』。因为 $\Sigma$ 是平面，$z_x,z_y$ 都是常数，$dS=\sqrt{3}dxdy$ 可提到积分号外，问题就退化为三角形域上的二重积分。选择先对 $x$ 积分，内层积出 $(1-y)$，外层只剩一元多项式积分。

$\Sigma$ 是平面 $z=1-x-y$ 在 $D=\{(x,y)\mid x+y\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$ 上的部分。

$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\sqrt{1+(-1{)}^2+(-1{)}^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$。

${\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS=\sqrt{3}{\iint }_D{y}^{2}dxdy=\sqrt{3}{\int }_0^1{y}^2\left({\int }_0^{1-y}dx\right)dy=\sqrt{3}{\int }_0^1{y}^2(1-y)dy=\sqrt{3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{\sqrt{3}}{12}$。