2012 年考研数学（一） 第 13 题

看到 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 这种秩一矩阵、且 $\mathbf{\alpha }$ 是单位向量（${\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }=1$），应立刻试算 $A^2$——会发现 $A$ 幂等。幂等矩阵配上 $A(E-A)=O$ 可得 $r(A)+r(E-A)=n$，而 $E-A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 秩为 $1$，秩就出来了。取特例验证是快速兜底的办法。

记 $A=E-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$。因 $\mathbf{\alpha }$ 为单位向量，${\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }=1$，故 $A^2=E-2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T+\mathbf{\alpha }({\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }){\mathbf{\alpha }}^T=E-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T=A$。

由 $A(E-A)=O$ 得 $r(A)+r(E-A)\le 3$；又 $r(A)+r(E-A)\ge r(E)=3$，故 $r(A)+r(E-A)=3$。

而 $E-A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$，$r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T)=r(\mathbf{\alpha })=1$，所以 $r(A)=3-1=2$。

（也可取 $\mathbf{\alpha }=(1,0,0{)}^T$ 验证 $E-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T=\mathrm{diag}(0,1,1)$，秩为 $2$。）