2012 年考研数学（一） 第 8 题

关键一步是识别『两段之和为定值』给出 $X+Y=1$，即 $Y=-X+1$ 是严格线性关系。相关系数度量线性相关程度，完全线性时必为 $\pm 1$，斜率 $-1<0$ 故取 $-1$。看到『和为常数』『差为常数』这类约束，就该立刻联想到完全相关，无需繁琐计算。

设两段长度分别为 $X,Y$，则 $X+Y=1$，即 $Y=-X+1$，二者呈斜率为负的线性关系。

由相关系数性质：当 $P\{Y=aX+b\}=1$ 且 $a<0$ 时，${\rho }_{XY}=-1$。

也可直接计算：$X\sim U(0,1)$，$D(X)=\frac{1}{12}$；$Y=-X+1$，$D(Y)=D(X)=\frac{1}{12}$，$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,-X+1)=-D(X)=-\frac{1}{12}$，故 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=-1$。

应选 D。