2012 年考研数学（一） 第 7 题

『两个独立连续变量比大小的概率』就是把联合密度在半平面 $\{x<y\}$ 上积分。指数分布密度形式简单，独立性让联合密度直接相乘；选择先积 $y$ 能把内层积成 $e^{-4x}$，与外层 $e^{-x}$ 合并为 $e^{-5x}$，一步到位。注意参数 $4$ 指的是 $\lambda =4$（密度中的系数），别与均值混淆。

$X$ 的密度为 $f_X(x)=e^{-x}(x>0)$，$Y$ 的密度为 $f_Y(y)=4e^{-4y}(y>0)$，其余为 $0$。

由独立性，联合密度 $f(x,y)=4e^{-(x+4y)}(x>0,y>0)$。

$P\{X<Y\}={\iint }_{x<y}f(x,y)dxdy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\left({\int }_x^{+\infty }4e^{-4y}dy\right)dx={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\cdot e^{-4x}dx={\int }_0^{+\infty }{e}^{-5x}dx=\frac{1}{5}$。

应选 A。