2012 年考研数学（一） 第 6 题

看到『$Q$ 的列由 $P$ 的列组合而成』就应写成 $Q=PM$，于是 $Q^{-1}AQ=M^{-1}\Lambda M$，把问题化成一次简单的矩阵乘法。更快的洞察是：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 同属特征值 $1$，其组合 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$ 仍是特征值 $1$ 的特征向量，故对角元的取值与顺序都不变。

由列变换关系 $Q=({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=PM$，其中 $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

于是 $Q^{-1}AQ=M^{-1}{P}^{-1}APM=M^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)M$。

计算得 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。

（本质上 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 同属特征值 $1$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$ 仍是特征值 $1$ 的特征向量，对角形不变。）应选 B。