2012 年考研数学（一） 第 5 题

题目强调 $c_i$ 任意，等于提示『线性相关性必须与 $c_i$ 无关』，因此要找一个恒成立的线性关系，突破口在不含 $c_i$ 的前两个分量。${\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 的前两分量互为相反数，相加只剩第三分量，就与同样只有第三分量的 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 成比例。排成行列式看，则是某两列相加为零列，行列式恒为零。

方法一（观察）：${\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_3+c_4\end{array}\right)$，它与 ${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_1\end{array}\right)$ 成比例，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性相关。

方法二（行列式）：$|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_1& c_3& c_4\end{array}\right|=0$（第 2、3 列相加为零列），故三向量线性相关。

其余选项对应行列式均不恒为零，向量组线性无关。应选 C。