2012 年考研数学（一） 第 4 题

比较积分不必求值，只需盯住『差』。$e^{x^2}$ 没有初等原函数，定量计算是死路；改看 $I_{k+1}-I_k$，其符号完全由 $\sin x$ 在各 $(k\pi ,(k+1)\pi )$ 上的正负决定。$I_1$ 与 $I_3$ 不相邻，用平移 $x=t+\pi$ 把两段拉到同一区间比较被积函数大小，是这类『不可积却要比大小』题的通法。

$I_2-I_1={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$。在 $(\pi ,2\pi )$ 上 $\sin x<0$，故 $I_2-I_1<0$，即 $I_1>I_2$。

$I_3-I_2={\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$。在 $(2\pi ,3\pi )$ 上 $\sin x>0$，故 $I_3-I_2>0$，即 $I_2<I_3$。

再比较 $I_1,I_3$。对 ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$ 令 $x=t+\pi$，得 ${\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(t+\pi {)}^2}\sin (t+\pi )dt=-{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(x+\pi {)}^2}\sin xdx$。

于是 $I_3-I_1={\int }_{\pi }^{2\pi }[e^{x^2}-e^{(x+\pi {)}^2}]\sin xdx$。在 $(\pi ,2\pi )$ 上 $\sin x<0$ 且 $e^{x^2}-e^{(x+\pi {)}^2}<0$，被积函数为正，故 $I_3-I_1>0$，即 $I_1<I_3$。

综上 $I_2<I_1<I_3$，应选 D。