2012 年考研数学（一） 第 3 题

判断『可微』命题最稳的两招：正面紧扣可微定义 $\Delta z=Ax+By+o(\rho )$，反面构造反例。选项 B 的分母 $x^2+y^2={\rho }^2=o(\rho )$，比线性主部更高阶，恰好凑出可微定义，故成立；而分母 $|x|+|y|$ 与 $\rho$ 同阶，推不出可微。对其余三项，用 $|x|+|y|$、$x$、$xy$ 这类熟悉函数一试即破。

分析选项 B：由 $f$ 在 $(0,0)$ 连续且 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$ 存在，而分母 $\to 0$，故必有 $f(0,0)=0$。

记 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，设该极限为 $A$，则 $f(x,y)=A(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$。于是 $\Delta z=f(x,y)-f(0,0)=0\cdot x+0\cdot y+o(\rho )$（因 $x^2+y^2={\rho }^2=o(\rho )$），由可微定义知 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，故 B 正确。

举反例排除其余：取 $f=|x|+|y|$，则 $\lim \frac{f}{|x|+|y|}=1$ 存在，但 $f$ 在 $(0,0)$ 对 $x$ 不可偏导，从而不可微，A 错。

取 $f=x$，$f$ 可微，但 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)}{|x|}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{|x|}$ 不存在，故 $\lim \frac{f}{|x|+|y|}$ 不存在，C 错。

取 $f=xy$，$f$ 可微，但 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在，D 错。综上应选 B。