2012 年考研数学（一） 第 2 题

关键信号是 $f(0)=0$（首因子为零），且只有含 $x$ 的那一个因子趋于零。这时用导数定义远比乘积法则省力：把唯一趋零的因子配成 $\frac{e^x-1}{x}\to 1$，其余因子直接代 $0$。这样避开了 $n$ 项求和的繁琐，剩下只需把连乘 $(1-k)$ 数清符号与阶乘。

分析：用导数定义最简便。注意 $f(0)=(e^0-1)(e^0-2)\cdots (e^0-n)=0\cdot (-1)\cdots (1-n)=0$。

由导数定义，$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}\cdot (e^{2x}-2)\cdots (e^{nx}-n)$。

由于 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$，其余因子取 $x=0$ 的值：

$f^{\prime }(0)=1\cdot (1-2)(1-3)\cdots (1-n)=(-1)(-2)\cdots (-(n-1))=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$。

应选 A。