2012 年考研数学（一） 第 1 题

渐近线题的核心是『分类不漏、逐点核实』。看到有理分式先约分找公因子，因为 $x=-1$ 处分子分母同时为零，很可能是可去间断点而非铅直渐近线——这正是本题埋的陷阱。先算 $x\to \infty$ 的极限定水平渐近线，再逐一检验分母零点，即可避免多算。

分析：分别讨论水平、铅直、斜渐近线。注意 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$，分子分母含公因子 $(x+1)$。

水平渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=1$，故 $y=1$ 为水平渐近线。

铅直渐近线：当 $x\to 1$ 时 $y\to \infty$，故 $x=1$ 为铅直渐近线；而在 $x=-1$ 处，$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x}{x-1}=\frac{1}{2}$ 为有限值，故 $x=-1$ 不是铅直渐近线（可去间断点）。

斜渐近线：因 $x\to \pm \infty$ 时函数已有水平渐近线，故无斜渐近线。

综上，曲线共有 $2$ 条渐近线，应选 C。