2010 年考研数学（一） 第 9 题

参数方程二阶导的关键是牢记 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}(y_x^{\prime })/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$，切忌把 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 再简单地对 $x$ 求导。$y$ 是变限积分，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 由基本定理直接得 $\ln (1+t^2)$。由于最终代 $t=0$，只要注意到含 $t$ 的因子在 $0$ 处都为零，就能预见结果。

本题考查参数方程确定函数的二阶导数。 注意 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$。

先求一阶导：$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-{\mathrm{e}}^{-t}$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\ln (1+t^2)$，故
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\ln (1+t^2)}{-{\mathrm{e}}^{-t}}=-{\mathrm{e}}^t\ln (1+t^2).$$

再求二阶导：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[-{\mathrm{e}}^t\ln (1+t^2)\right]}{-{\mathrm{e}}^{-t}}=\frac{-\left[{\mathrm{e}}^t\ln (1+t^2)+{\mathrm{e}}^t\frac{2t}{1+t^2}\right]}{-{\mathrm{e}}^{-t}}={\mathrm{e}}^{2t}\left[\ln (1+t^2)+\frac{2t}{1+t^2}\right].$$

令 $t=0$：$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=0}=1\cdot (0+0)=0$。