2010 年考研数学（一） 第 10 题

见到 $\sqrt{x}$ 出现在三角函数里，第一反应是换元 $x=t^2$ 去根号，把“难以直接积”变成多项式乘三角。换元后 $\int t^2\cos t\mathrm{d}t$ 是分部积分的标准型（幂函数逐次降次），把 $\cos t$ 凑微分即可。

本题先换元去根号，再用分部积分。 令 $x=t^2$（$t\ge 0$），则 $\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，当 $x:0\to {\pi }^2$ 时 $t:0\to \pi$。

$${\int }_0^{{\pi }^2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }t\cos t\cdot 2t\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\pi }{t}^2\cos t\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\pi }{t}^2\mathrm{d}(\sin t).$$

分部积分：
$$2{\int }_0^{\pi }{t}^2\mathrm{d}(\sin t)=2t^2\sin t{|}_0^{\pi }-4{\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=-4{\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t.$$

再由 ${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}\cdot 2=\pi$（利用公式 ${\int }_0^{\pi }tf(\sin t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin t)\mathrm{d}t$），得原式 $=-4\pi$。