2010 年考研数学（一） 第 11 题

第二类曲线积分若路径分段光滑，两条路都通：直接以 $x$ 为参数分段积分，或补线用格林公式化为二重积分。这里 $Q_x-P_y=x$ 是奇函数，而补线围成的区域关于 $y$ 轴对称，二重积分为零；补的 $x$ 轴段上 $y=0,\mathrm{d}y=0$ 也无贡献。对称性是预判结果的关键。

本题可直接分段计算，也可补线用格林公式。 曲线 $L$ 由两段折线组成：从 $(-1,0)$ 到 $(0,1)$（$y=1+x$），再从 $(0,1)$ 到 $(1,0)$（$y=1-x$）。

方法一（直接计算） 以 $x$ 为参数，$y=1-|x|$，$\mathrm{d}y=-\mathrm{sgn}(x)\mathrm{d}x$：
$${\int }_{L}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y={\int }_{-1}^0\left[x(1+x)+x^2\right]\mathrm{d}x+{\int }_0^1\left[x(1-x)-x^2\right]\mathrm{d}x.$$
计算两段积分，结果相互抵消，得 $0$。

方法二（格林公式） 补 $L_1:y=0$（从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$）。此处 $P=xy,Q=x^2$，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-x=x$，故
$${\oint }_{L+L_1}={\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{y-1}^{1-y}x\mathrm{d}x=0$$
（对 $x$ 为奇函数、区间对称）。而在 $L_1$ 上 $y=0,\mathrm{d}y=0$，${\int }_{L_1}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y=0$。故原式 $=0$。