2010 年考研数学（一） 第 12 题

求形心竖坐标就是套 $\bar{z}=\iiint z\mathrm{d}v/\iiint \mathrm{d}v$，关键在选对积分顺序。区域按 $z$ 切片时截面恰是半径 $\sqrt{z}$ 的圆、面积 $\pi z$ 极简，于是两个三重积分都塌缩成 ${\int }_0^1(\cdots )\pi z\mathrm{d}z$ 的一元积分，避开了柱面坐标的繁琐。

本题考查用三重积分求形心竖坐标 $\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v}{{\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v}$。区域 $\Omega$ 是抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=1$ 围成。

先算体积（先积 $x,y$ 后积 $z$）： 当竖坐标为 $z$ 时截面为圆 $x^2+y^2\le z$，面积 $\pi z$，故
$${\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v={\int }_0^1\pi z\mathrm{d}z=\frac{\pi }{2}.$$

再算 ${\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v$：
$${\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v={\int }_0^{1}z\cdot \pi z\mathrm{d}z=\pi {\int }_0^1{z}^2\mathrm{d}z=\frac{\pi }{3}.$$

于是 $\bar{z}=\frac{\pi /3}{\pi /2}=\frac{2}{3}$。