2010 年考研数学（一） 第 13 题

“生成空间的维数 = 向量组的秩”是本题的钥匙，把几何语言翻译成 $r=2$。三个四维向量排成矩阵作行变换，秩为 $2$ 意味着化简后恰有一行（含参数 $a$）应全化为零，令那个含 $a$ 的元素为零即可求出 $a$。

本题考查向量组的秩。 由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 生成的向量空间的维数等于该向量组的秩，故需要 $r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=2$。

对矩阵 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 作初等行变换化阶梯形：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ -1& 0& 1\\ 0& 2& a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& -1& -3\\ 0& 1& 3\\ 0& 2& a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& a-6\end{array}\right).$$

要使秩为 $2$，须有 $a-6=0$，即 $a=6$。