2010 年考研数学（一） 第 14 题

看到 $P\{X=k\}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\cdots$ 就应联想泊松分布的形状；用归一性 ${\sum }_{k\ge 0}\frac{C}{k!}=C\mathrm{e}=1$ 定出 $C={\mathrm{e}}^{-1}$，即参数 $\lambda =1$ 的泊松分布。泊松分布的均值与方差都等于 $\lambda$，于是 $E(X^2)$ 用 $D(X)+[E(X){]}^2$ 一步得到。

本题先由概率的归一性定出常数 $C$，识别出泊松分布，再求 $E(X^2)$。

由归一性 $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{C}{k!}=C\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=C\mathrm{e}=1$，得 $C={\mathrm{e}}^{-1}$。于是 $P\{X=k\}=\frac{1}{k!}{\mathrm{e}}^{-1}$，即 $X\sim P(1)$（参数 $\lambda =1$ 的泊松分布）。

泊松分布满足 $E(X)=\lambda =1$，$D(X)=\lambda =1$，故
$$E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2=1+1=2.$$