2010 年考研数学（一） 第 15 题

常系数非齐次的标准流程是“先齐次、后特解”。自由项 $2x{\mathrm{e}}^x$ 属 $P(x){\mathrm{e}}^{\alpha x}$ 型，判定特解形式的核心是看 $\alpha =1$ 与特征根 $1,2$ 的关系：$1$ 是单根、发生一重共振，故待定式要额外乘一个 $x$，即设 $x(ax+b){\mathrm{e}}^x$ 再代入比较系数。

这是二阶常系数非齐次线性微分方程。 分两步：先求对应齐次方程的通解，再求非齐次方程的一个特解。

第一步：齐次通解。 齐次方程 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$，特征根 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$，故齐次通解为
$$Y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}.$$

第二步：特解。 自由项为 $2x{\mathrm{e}}^x$，其中 $\alpha =1$ 恰是单重特征根，故设特解 $y^{\ast }=x(ax+b){\mathrm{e}}^x=(a{x}^2+bx){\mathrm{e}}^x$。代入原方程比较系数，得 $-2a=2,2a-b=0$，解得 $a=-1,b=-2$，即 $y^{\ast }=-(x^2+2x){\mathrm{e}}^x$。

综上，通解为
$$y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}-(x^2+2x){\mathrm{e}}^x(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$